sábado, 21 de marzo de 2020

Un modelo, un teorema y teoría de juegos contra el coronavirus

Buenos días a todxs!

Ayer publicaban el siguiente artículo en agenciasinc.es, lo tenéis completo clicando aquí.

 

Como ya sabéis y se ha hablado del nuevo coronavirus SARS-Cov-2 las últimas semanas, es un virus que comenzó en China y que, en contra de lo que algunos pensaban, se ha probado que es de origen animal, este enlace habla de ello, con artículos de hace trece años hablando sobre el tema. 

El objetivo que tenemos estos días es aplanar la curva de infectados diarios, es decir, bajar y retrasar lo máximo posible el pico para que no haya un colapso de los sistemas sanitarios.

Tras las gráficas que nos han ido llegando por Whatsapp estos días hay modelos matemáticos que recogen características de los brotes epidémicos y permiten realizar predicciones. Uno de los más utilizados y con el que trabajamos hace un mes es el modelo SIR (Susceptibles de contraer la enfermedad, Infectados y Recuperados). Uno de los problemas que presenta utilizar este modelo, es que al ser nueva esta enfermedad los parámetros incluidos en el modelo se van estimando sucesivamente con los nuevos datos que se obtienen día a día, como puede ser R0.


El R0 del coronavirus, en circunstancias normales, ronda los 1.5 y 2.5, lo importante es reducirlo.

Una de las extensiones del modelo SIR es el SEIR, un sistema de ecuaciones donde se incorpora la población expuesta (E), aquellas personas que incuban el virus sin mostrar síntomas. Un grupo de investigadores de universidades gallegas y de Portugal lo han utilizado para modelizar la evolución de la pandemia y ayudar en la toma de decisiones. "Adaptándonos a las características propias del COVID-19, añadimos tres subpoblaciones (P de superpropagadores, A de afectados pero asintomáticos y H de hospitalizados) al modelo, con parámetros ajustados en función de los datos propios de este coronavirus desde que empezó en China", decía Juan José Nieto.

En base a los datos, estiman que "el pico se dará a principios de abril".

Otras herramientas matemáticas

El teorema de Bayes, que describe la probabilidad de un suceso basándose en el conocimiento previo de las condiciones relacionadas con ese suceso. Podríamos decir que va aprendiendo en función de los datos que conoce y esto aumenta la probabilidad de acertar. De León lo resume así "La información acerca de un determinado fenómeno tras el análisis de los datos, se obtiene actualizando los conocimientos previos con los nuevos datos".


viernes, 20 de marzo de 2020

Recopilación de datos COVID-19

Durante estos días os pido que recopiléis datos sobre el número de infectados, de muertos y dados de alta día a día por el coronavirus. Cuando acabe el estado de alarma representaremos y analizaremos los datos recogidos matemáticamente.

jueves, 19 de marzo de 2020

Día Internacional de las Matemáticas

Hace unos meses la ONU reconoció el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas, antes conocido como día de pi y el nacimiento de Albert Einstein.



Pi es un número irracional, trascendente y que aparece en más lugares que en los libros de Matemáticas ;)

El número pi es conocido por todos, pero ¿conoces todas las aplicaciones que tiene en nuestro día a día el número π ?










En clase hicimos el ejemplo de la aguja de Buffon y sorprendió a los alumnxs, nunca te esperas dónde puede aparecer π

Otra de las aportaciones al día de pi de los alumnos de 1º de Bachillerato:



En el siguiente hilo de Twitter podéis encontrar el porqué del número pi en la fórmula del área del círculo.





Geometría 2º ESO

Cualquier ejercicio o duda que os surja al leer los ejemplos o al intentar hacer las tareas, mandadme un correo a prietogarcia.andrea@gmail.com con fotos, texto o audios con las dudas. 

Tutorial


Ejercicios resueltos





Geometría


Tutoriales

Repaso





Ejercicios resueltos





Cualquier duda mandadme un mail a prietogarcia.andrea@gmail.com 

Geometría en el espacio


Teoría




Resúmenes




Límites y continuidad

Esta semana empezaríamos nueva unidad didáctica: Límites y continuidad. Ya hemos hecho una introducción a las funciones, damos paso a trabajar con algunos nuevos conceptos y repasar varios ya conocidos.

Estos son los tutoriales donde tendréis todo el material explicado y con ejercicios resueltos para tener varios como ejemplo.

Cualquier duda que os surja tras haber visto todo lo que os he facilitado, podrá ser consultada a mi correo prietogarcia.andrea@gmail.com

Unidad didáctica: Límites y continuidad


Documentos






Ejercicios






Tutoriales

Límites (todo en una carpeta)





¡Ánimo con el estudio y con esta unidad!


Coronavirus-Clases

Buenos días alumnxs,

Como ya os he comentado en el aula virtual y por gmail, debido a la situación originada por el coronavirus tanto vosotros como vuestras familias debéis tener en cuenta:

1. No son vacaciones, el proceso de enseñanza-aprendizaje continúa en casa

2. Todos contáis con conexión a internet, bien porque lo tenéis en casa o porque algún vecino os lo pueda proporcionar en estos momentos.

En este blog se creará durante estos días de confinamiento una entrada para cada curso, donde se subirán las tareas que debéis realizar y enviarme, así como material para poder seguir llevando el contenido de la asignatura al día.

Los ejercicios que os pida tendrán todas las instrucciones de lo que debéis hacer con ellos.

NOTA: Cualquier duda podéis enviármela por gmail, tanto en formato de foto, texto o audio. 

¡Mucho ánimo y entre todos pasaremos esta mala situación!

jueves, 12 de marzo de 2020

CODVID19 y Matemáticas


Después de que hace unas horas se decretase la pandemia global por corona virus, quería mostraros los resultados de dos matemáticas en relación con el tema, por que sí, las matemáticas también sirven para prevenir mayor número de contagios de una enfermedad (como vimos en entradas anteriores) o para predecir cómo va a evolucionar.  Aunque en estos momentos lo que recomienden las autoridades sanitarias es lo que hay que hacer y lo más recomendable es evitar el contacto social.

Introducimos el Dilema del prisionero. La conclusión básica de este planteamiento, muy conocido en Teoría de Juegos es que, en la mayoría de situaciones, la cooperación conduce al bien común (a cambio de pequeños sacrificios individuales). La situación es la siguiente: pensemos en dos personas A y B que están contagiados pero no presentan síntomas. En la siguiente tabla se muestran los posibles escenarios y consecuencias esperadas de cada caso.


(Este argumento es el que plantea Clara Grima y otros autores en el libro Las matemáticas vigilan tu salud)

Por tanto, no se trata de que tú no te contagies, sino de que no nos contagiemos ninguno.

Aislarse, en la medida de nuestras posibilidades, en estas circunstancias, como vacunarse, es un acto de altruismo que todos deberíamos hacer.

@AnaBayes controla de modelos matemáticos y nos cuenta esto:

Imaginad un aula llena de personas donde 2 o 3 tienen la infección. Esas personas pueden contagiar a otras 2 personas cada una (en entradas anteriores ya vimos qué era R0). Si dejamos que el sistema se mueva sin hacer nada, efectivamente, los contagios crecerán de forma exponencial y, al final, todo el mundo estará contagiado. Sin embargo, solo hace falta un poco de control, aislar algunas zonas, para ver cómo el crecimiento se ralentiza muchísimo y dejamos de tener el famoso modelo exponencial. Si, además, metemos en la ecuación que a lxs enfermxs se les trata y se curan (en la mayor parte de los casos) eso genera otro cambio en el modelo que pasa a tener 3 tipos de personas, el modelo SIR (Susceptibles, Infectadas y Recuperados). Depende de cómo sea la enfermedad (y ahí es donde no tenemos datos) puede que las recuperadas vuelvan a ser susceptibles o no y eso también cambia el aspecto del sistema. En cualquier caso, lo importante es mantener la curva de infectados lo más plana posible para evitar el colapso del sistema




De la mano de @picanumeros tenemos lo siguiente:

La prevalencia de una enfermedad (E) es de 10 por cada 100.000 habitantes (0.01%). Aplicamos a una persona al azar un test que tiene una probabilidad del 99.9% de acertar. El test dice que la persona está enferma (A). ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad?

Recapitulemos: tanto la sensibilidad como la especificidad del test son del 99.9%, así que 
- la probabilidad de que dé positivo si está enferma es del 0.999, P(A|E) = 0.999.
- igual que la probabilidad de que dé negativo si no está enferma, P(A'|E')=0.999. (E' es el complementario de E, i.e., el suceso la persona No esté enferma y A' es el suceso el test dice que la persona no está enferma, el complementario del suceso A).

Si ya ha ocurrido A, buscamos entonces P(E|A). Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|A) = P(A|E)*P(E) / [P(A|E)*P(E) + P(A|E')*P(E)]

Dado que P(A|E') = 1- P(A'|E') y P(E') = 1 - P(E), 

P(E|A) = 0.999*0.0001 + 0.001-0.9999 = 0.0908. 

La probabilidad de que la persona realmente tenga la enfermedad es de 0.0908 (9.08%), luego es mucho más probable que no la tenga. 

¿Cuál es el motivo de que sea tan baja? La prevalencia inicial.

Si aumentamos la prevalencia a 100 casos por cada 100.000 habitantes (0.1%), la probabilidad anterior aumentaría a 0.5 y, si lo hiciéramos a 1000 casos por cada 100.000 (1%), y sería de 0.91. ¿Verdad que te fiarías más de este test?

Si queremos elevar la probabilidad de que los positivos sean verdaderos hace falta elevar el valor predictivo del test, lo cual es más una cuestión técnica, pero también se puede elevar la probabilidad de estar enfermo a priori (seleccionando bien a quién se hace la prueba!!).

Esta selección a veces es complicada, por lo que hay estrategias para conseguir maximizar el éxito.

También, de mano de @AnaBayes, otro aspecto sería seguir la estrategia de repetir la prueba varias veces, incluso jugando con la sensibilidad y especifidad (siempre dentro de unos límites coherentes), para aumentar las posibilidades.







martes, 3 de marzo de 2020

Expansión del Coronavirus COVID-19 y el INE

Hace unos meses (en octubre del pasado año) el Instituto Nacional de Estadística (INE) llegaba a un acuerdo con varias compañías telefónicas para permitir al organismo seguir la pista, durante ocho días, de los teléfonos móviles de toda España con el objetivo de obtener información sobre la movilidad de los españoles.

Los datos que facilitaron las operadores eran completamente anónimos y el seguimiento comprende los días 18, 19, 20 y 21 de noviembre (todos laborables); 24 de noviembre (domingo); 25 de diciembre (festivo); 20 de julio y 15 de agosto. 

Lo que se tiene en cuenta en este "rastreo" no es la posición de cada teléfono, sino recuentos de cuántos teléfonos se encuentran en cada zona en cada momento, respetándose la Ley de Protección de datos.

Vivimos en la era de los datos, así que una vez se han recopilado durante varios días esta movilidad por toda la región de España, uno de los usos puede ser la expansión del Coronavirus COVID-19 en nuestro país. (Datos obtenidos del Twitter de Pedro Daniel Pajares).


Zonas menos afectadas: Galicia y Zaragoza.
Más afectadas: Badajoz, Málaga, S.C. Tenerife, Segovia y Valencia.

El estudio está hecho a nivel de municipio del riesgo epidémico estimado en España. Los 5 con más riesgo son:
1. Arjonilla (Jaén)
2. San Sebastián de la Gomera (S.C. Tenerife)
3. Zafra (Badajoz)
4. Atalaya (Badajoz)
5. Puebla de Sancho Pérez (Badajoz)

Este estudio se ha basado en un modelo matemático de propagación de epidemias basado en la movilidad habitual (recurrente) entre municipios, de la población activa de España, según datos proporcionados por el INE.

Fuente y datos completos en este enlace.