CUANDO EL ARTE SE BASA EN NÚMEROS

 

La geometría matemática de los alicatados

El reperterio ornamental hispanomusulmán se basa en tres elementos básicos de decoración: la epigrafía, la vegetación y la geometría. Todos ellos se encuentran magnificamente representados en la Alhambra. Hoy hablaremos de uno de estas decoraciones: la geométrica. La geometría es un concepto clave en el arte islámico pues no solo actúa como un elemento estilístico más, sino que está presente en todo el desarrollo arquitéctonico y ornamental como principio rector. Los diseños geométricos del arte nazarí se repiten en distintos formatos y superficies, pero quizá sean los alicatados uno de las principales manifestaciones de este tipo de ornamentación. Los alicatados están formados por pequeñas piezas de cerámica vidriada de diferentes formas y colores que se agrupan entre si para generar tramas geométricas de gran complejidad. El alicatado cumplía una doble función, decorativa, por un lado, y de protección de la superficie arquitectónica por otro.Los artesanos realizaban estos alicatados en función del sitio concreto que fueran a ocupar, eligiendo los grupos ornamentales que más se adecuaban a cada espacio. En la Alhambra se crearon gran variedad de tramas geométricas que fueron evolucionando en diseño y maestría a lo largo del tiempo.  En el arte nazarí existen así composiciones simples, basadas en la repetición de uno o dos figuras; y composiciones complejas, en las que diferentes motivos se desplazan y rotan para generar a su vez nuevas formas geométricas a un nivel superior.Los entramados geométricos de la decoración del arte hispanomusulmán se basan en tres elementos claves para teselar el plano, es decir para cubrir una superficie usando polígonos sin dejar huecos. En concreto: 1. Un motivo poligonal como base de las composiciones. 2. La creación de composiciones a través de isometrías, es decir, de movimientos del plano de dichos motivos conservando sus proporciones. Esto se lleva a cabo mediante:

• Traslación: desplazamiento a una nueva posición fijo sin cambiar la orientación.
• Rotación: giro directo del motivo sobre un punto fijo.
• Simetría: reflexión o imagen especular inversa del motivo.
• Simetría deslizada: traslación de la reflexión en el mismo eje sin un punto fijo.

3. El crecimiento lineal de dichas composiciones que se podría continuar hasta el infinito. Estas teselaciones pueden hacerse a través de motivos poligonales, más sencillas de realizar los que más abundan en los alicatados de la Alhambra; o de motivos no poligonales. Estas segundas implican una mayor maestría pues supone un proceso más laborioso de creación para conseguir formas no poligonales que encajen entre sí. Como ejemplo de formas no poligonales la más popular es la forma de trisquel o “pajarita”, creada a través de la tranformación de un triángulo equilátero.En geometría solo hay 17 grupos cristalográficos planos, es decir 17 formas de teselar un plano. Estos grupos cristalográficos fueron demostrados por el cristalógrafo ruso E.S. Fedorov en 1891, sin embargo todos ellos habían sido representadas con anterioridad en la Alhambra. Los artesanos nazaríes trazaron con tal maestría las representaciones geométricas que llegaron a generar todos los grupos de simetría posibles dejando un legado no solo ornamental, sino también matemático pues es el único monumento antiguo en el cual están presentes los 17 diseños. Estos grupos pueden ser agrupados en función del orden máximo de giros, así se generan:

• Grupos de simetría sin giros: existiendo 4 grupos (en concreto, según la nomenclatura del sistema internacional abreviado: P1, cm, pg y pm)
• Grupos de simetría con giros de 180 grados: existiendo 5 tipos de simetría (P2, cmm, pmm, pmg, pgg)
• Grupos de simetría con giros de 120 grados: con 3 grupos de simetrías (P3, P31m, P3m1)
• Grupos de simetría con giros 90 grados: con 3 grupos (P4, P4m, P4g)
• Grupos de simetría con giros de 60 grados: con 2 grupos (P6, P6m)

En el arte nazarí las composiciones más populares son las de giros de 90º, aunque en la Alhambra todos los grupos se encuentran representados. Entre los alicatados del Museo de la Alhambra se encuentran ejemplos de estas formas de teselar un plano.. ¿Os animáis a profundizar en la geometría y buscar los grupos de simetría que se esconden en los alicatados del museo y de la Alhambra? . Os recomendamos una serie de artículos y recursos para profudizar en el tema: Garro Garro, Juan Carlos, Rojo Montijano, José: ”Un Mosaico para Dubai” Hernández Rojo, Fernando: “Desde el estudio de los elementos de simetría de los mosaicos de la Alhambra hasta la creación de nuevos diseños? Martínez Vela, Manuel: La Alhambra con regla y compás. Editorial Almizate – Patronato de la Alhambra y Generalife. 2017  Lovric, Miroslav: “Magic geometry: Mosaics un the Alhambra”. Pérez Gómez,  Rafael: “Un matemático passeggia per l’Alhambra”. Pérez Gómez, Rafael: “The four regular mosaics missing in The Alhambra”. Movimientos en el plano. Aplicación al estudio de las Teselaciones en el plano. Frisos y Mosaicos

Día Internacional de las Matemáticas

Hace unos meses la ONU reconoció el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas, antes conocido como día de pi y el nacimiento de Albert Einstein.

Pi es un número irracional, trascendente y que aparece en más lugares que en los libros de Matemáticas ;)

El número pi es conocido por todos, pero ¿conoces todas las aplicaciones que tiene en nuestro día a día el número π ?

En clase hicimos el ejemplo de la aguja de Buffon y sorprendió a los alumnxs, nunca te esperas dónde puede aparecer π

Otra de las aportaciones al día de pi de los alumnos de 1º de Bachillerato:

En el siguiente hilo de Twitter podéis encontrar el porqué del número pi en la fórmula del área del círculo.

CODVID19 y Matemáticas

Después de que hace unas horas se decretase la pandemia global por corona virus, quería mostraros los resultados de dos matemáticas en relación con el tema, por que sí, las matemáticas también sirven para prevenir mayor número de contagios de una enfermedad (como vimos en entradas anteriores) o para predecir cómo va a evolucionar.  Aunque en estos momentos lo que recomienden las autoridades sanitarias es lo que hay que hacer y lo más recomendable es evitar el contacto social.

Introducimos el Dilema del prisionero. La conclusión básica de este planteamiento, muy conocido en Teoría de Juegos es que, en la mayoría de situaciones, la cooperación conduce al bien común (a cambio de pequeños sacrificios individuales). La situación es la siguiente: pensemos en dos personas A y B que están contagiados pero no presentan síntomas. En la siguiente tabla se muestran los posibles escenarios y consecuencias esperadas de cada caso.

(Este argumento es el que plantea Clara Grima y otros autores en el libro Las matemáticas vigilan tu salud)

Por tanto, no se trata de que tú no te contagies, sino de que no nos contagiemos ninguno.

Aislarse, en la medida de nuestras posibilidades, en estas circunstancias, como vacunarse, es un acto de altruismo que todos deberíamos hacer.

@AnaBayes controla de modelos matemáticos y nos cuenta esto:

Imaginad un aula llena de personas donde 2 o 3 tienen la infección. Esas personas pueden contagiar a otras 2 personas cada una (en entradas anteriores ya vimos qué era R0). Si dejamos que el sistema se mueva sin hacer nada, efectivamente, los contagios crecerán de forma exponencial y, al final, todo el mundo estará contagiado. Sin embargo, solo hace falta un poco de control, aislar algunas zonas, para ver cómo el crecimiento se ralentiza muchísimo y dejamos de tener el famoso modelo exponencial. Si, además, metemos en la ecuación que a lxs enfermxs se les trata y se curan (en la mayor parte de los casos) eso genera otro cambio en el modelo que pasa a tener 3 tipos de personas, el modelo SIR (Susceptibles, Infectadas y Recuperados). Depende de cómo sea la enfermedad (y ahí es donde no tenemos datos) puede que las recuperadas vuelvan a ser susceptibles o no y eso también cambia el aspecto del sistema. En cualquier caso, lo importante es mantener la curva de infectados lo más plana posible para evitar el colapso del sistema

De la mano de @picanumeros tenemos lo siguiente:

La prevalencia de una enfermedad (E) es de 10 por cada 100.000 habitantes (0.01%). Aplicamos a una persona al azar un test que tiene una probabilidad del 99.9% de acertar. El test dice que la persona está enferma (A). ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad?

Recapitulemos: tanto la sensibilidad como la especificidad del test son del 99.9%, así que 

- la probabilidad de que dé positivo si está enferma es del 0.999, P(A|E) = 0.999.

- igual que la probabilidad de que dé negativo si no está enferma, P(A'|E')=0.999. (E' es el complementario de E, i.e., el suceso la persona No esté enferma y A' es el suceso el test dice que la persona no está enferma, el complementario del suceso A).

Si ya ha ocurrido A, buscamos entonces P(E|A). Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|A) = P(A|E)*P(E) / [P(A|E)*P(E) + P(A|E')*P(E)]

Dado que P(A|E') = 1- P(A'|E') y P(E') = 1 - P(E), 

P(E|A) = 0.999*0.0001 + 0.001-0.9999 = 0.0908. 

La probabilidad de que la persona realmente tenga la enfermedad es de 0.0908 (9.08%), luego es mucho más probable que no la tenga. 

¿Cuál es el motivo de que sea tan baja? La prevalencia inicial.

Si aumentamos la prevalencia a 100 casos por cada 100.000 habitantes (0.1%), la probabilidad anterior aumentaría a 0.5 y, si lo hiciéramos a 1000 casos por cada 100.000 (1%), y sería de 0.91. ¿Verdad que te fiarías más de este test?

Si queremos elevar la probabilidad de que los positivos sean verdaderos hace falta elevar el valor predictivo del test, lo cual es más una cuestión técnica, pero también se puede elevar la probabilidad de estar enfermo a priori (seleccionando bien a quién se hace la prueba!!).

Esta selección a veces es complicada, por lo que hay estrategias para conseguir maximizar el éxito.

También, de mano de @AnaBayes, otro aspecto sería seguir la estrategia de repetir la prueba varias veces, incluso jugando con la sensibilidad y especifidad (siempre dentro de unos límites coherentes), para aumentar las posibilidades.

Geometría y magnetismo

En el siguiente tuit podemos ver un vídeo sobre cómo construir polígonos regulares sin regla y compás o Geogebra, una forma diferente y atractiva de enseñar sus características.

El éxito de las Pringles

Pringles consiguió revolucionar el mercado de los snacks gracias a la ocurrencia de Fredric Baur, un químico que creyó que las matemáticas y la química podrían ayudarle a crear unas patatas fritas con forma de paraboloide hiperbólico, que se venderían apiladas en un bote cilíndrico de cartón, y así poder eliminar gran parte del aire que siempre aparece en las bolsas de plástico tradicionales (y la desilusión que le acompaña, sabiendo que no vamos a comer tantas patatas como pensábamos!).

A Fredric Baur le encomendaron la misión de diseñar un producto con un envase revolucionario, mientras trabajaba para P&G (Procter & Gamble). Esta empresa quería crear unas patatas que tuvieran una forma y tamaño uniformes, que pudieran ser apiladas y empaquetadas sin que se rompieran, y cuyo envase tuviese la menor cantidad de aire posible para que fuesen menos perecederas que las de por entonces.

Baur pensó en una patata con forma de silla de montar. La elección no es casualidad y responde a la necesidad de hacer el producto resistente, que se adaptara a la perfección al cilindro en el que se iba a empaquetar. "El paraboloide hiperbólico es una superficie matemática que tiene unas propiedades muy interesantes gracias a sus curvaturas. Esta superficie se utiliza en arquitectura porque es una superficie estable que ofrece resistencia a las fracturas. Si la forma de las patatas fuera plana, cabrían más en el cilindro, pero también se romperían más y necesitaría mayor grosor, como ocurre con las galletas." (dicho por el matemático Eduardo Sáenz de Cabezón).

Más información disponible aquí.

Hoy es 02/02/2020

¡Feliz domingo y, sobre todo, feliz día palíndromo!

Hoy es 02/02/2020, que es palíndromo. Además, también lo es en formato de EEUU (mes/día/año) y en formato ISO 2020/02/02.

Pero aún hay más, es el día 33 del año y, al ser 2020 un año bisiesto, faltan 333 días para que se acabe este año.

Dos giros de 180º

Alguna vez os habéis preguntado lo siguiente, ¿por qué el círculo tiene 360º y no 175º, 130 o 60º?. Pues bien, la razón reside en que cerca del 2400 a.C., los Sumerians se dieron cuenta de que el tiempo que tardaba el sol en dar la vuelta en el cielo era de aproximadamente 360 días (actualmente, unos cuantos años después, se ha determinado que el tiempo exacto es 365 días, 6 horas, 9 minutos y 9.76 segundos, por ello la existencia de años bisiestos y de diferentes calendarios, pero eso ya lo contaremos).

Por ello, para poder seguir el movimiento del sol determinaron que el círculo tendría 360º.

Sed mejores

Si cada día das un poco más de ti, al final del año ganarás más de lo que hubieras perdido.

2020

Este año que acabamos de comenzar es bastante peculiar, ya que cumple las siguientes características

1. Es la suma del cuadrado de cuatro números primos consecutivos

2. Es un número autobiográfico. Los números autobiográficos cumplen que su 1ª cifra es el número de ceros que contiene, la 2ª el número de unos, la 3ª el número de doses y así sucesivamente. Como se puede observar, 2020 tiene 2 ceros, 0 unos, 2 doses y 0 treses.

3. 2020 = 402 + 403 + 404 + 405 + 406
    2020 = 249 + 250 + ... + 255 + 256
    2020 = 31 + 32 + 33 + ... + 70
    2020 = 24^2 + 38^2
    2020 = 4^2 + 6^2 + 8^2 + ... + 22^2
Por @solvemymaths

4. 2020 = 10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1

5. 2020 = 1 + 8 + 1001 + 1001 + 8 + 1

Esto y algo más lo podéis encontrar aquí.

Volumen de la esfera

Hace solo 282 años que Euler presento en sus escritos la fórmula exacta para el volumen de la esfera.

Por  @fermatslibrary

Diagrama de Voronoi de las capitales de provincias de España

Buenas a todos,

En la entrada anterior vimos la definición y algunas de las muchas aplicaciones del Diagrama de Voronoi. Ahora os pido que hagáis el Diagrama de Voronoi de las provincias de España mediante el siguiente enlace y lo subáis al aula virtual. 

(Os doy una pista, tiene que quedaros algo así)

Como podéis observar en la imagen de la derecha, no difieren tanto las regiones de cada provincia con la división existente. ¿Significa esto que están bien elegidas desde un punto de vista geométrico?

Diagrama de Voronoi

Diagrama de Voronoi

El diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos en el plano es la descomposición de dicho plano en regiones de tal forma que a cada objeto se le asigna la región del plano formada por los puntos que son más cercanos a él que a ninguno de los otros objetos.

El diagrama de Voronoi divide el plano en tantas regiones como puntos, de tal forma que a cada punto le asignamos la región del plano formada por todo lo que está más cerca de él que de nadie.

En la figura, el punto verde ha caído en la región D, luego D es el punto azul más cercano al punto verde.

Esta propiedad del Diagrama de Voronoi tiene aplicaciones inmediatas tales como que si los puntos azules son los 8 parques que hay en tu ciudad, puedes saber cuál se encuentra más cerca de tu casa.

El diagrama de Voronoi se puede encontrar en infinidad de ejemplos naturales o se pueden provocar con experimentos caseros muy sencillos.

Si se ponen caramelos de colores en un plato y vierten agua sobre ellos, se puede observar cómo poco a poco se van delimitando las regiones de Voronoi de cada uno de los caramelos (teñida la región del color correspondiente) hasta que se tocan en la frontera. Después, eso sí, se estropea porque se siguen mezclando.

Si se ponen de acuerdo con varios amigos y crean varias pompas de jabón sobre un cristal horizontal, y han tenido cuidado de soplar al mismo tiempo, podrán observar que se dibuja una estructura similar.

Basándose en esta idea Luis M. Escudero y colaboradores han desarrollado un método que puede servir para revolucionar el diagnóstico automatizado de ciertas formaciones tumorales. Lo que han hecho, en líneas generales, el Dr. Escudero y sus colegas, ha sido crear un modelo de tejido epitelial (y muscular) ideal mediante el siguiente procedimiento computacional:

1. se genera un conjunto de puntos al azar;

2. a dichos puntos se les calcula su diagrama de Voronoi;

3. se calcula el centro de masas de cada una de las regiones resultantes (esto proporciona un nuevo conjunto de puntos)

4. se calcula el diagrama de Voronoi del nuevo conjunto.

Este proceso se repite hasta tres veces más. El aspecto que tiene este quinto diagrama de Voronoi calculado es el modelo de tejido ideal calculado por el Dr. Escudero (puesto que todas las células son similares, al expandirse, sus fronteras tienden a formar un diagrama de Voronoi). A partir de aquí estos investigadores miden cómo de parecido es el tejido de una muestra real del tejido modelo, si se parecen según ciertos parámetros (geométricos y topológicos), el tejido real está sano; en otro caso se concluye que algunas células no presentan las mismas características físicas que sus vecinas, lo que puede indicar el comienzo de un proceso tumoral. ¿No les parece sorprendente y maravilloso?

Aunque, sin duda y por justicia histórica, la aplicación más interesante de este diagrama fue la que hizo John Snow.

Perdón, la foto anterior era de Jon Snow (sin h). En realidad, nos referimos a John Snow, médico inglés del sigo XIX.

Fue en Londres en 1984, un brote de cólera estaba causando estragos en la ciudad británica. Por aquel entonces no se conocía con exactitud la etiología, ni el método de transmisión de la citada enfermedad. Se debatían dos posibilidades: el contagio por contacto con el enfermo, sus ropas o pertenencias; y la teoría miasmática que atribuían a la trasmisión a condiciones atmosféricas, como los vientos. John Snow usó el método geográfico deduciendo que la causa de la enfermedad era el consumo de aguas contaminadas por heces. Para ello, en un mapa señaló la distribución de muertes por cólera.

A continuación, estudió la distribución de las fuentes de agua potable de la ciudad y delimitó las regiones de Voronoi de cada una de esas bombas. Calculó la distancia entre la residencia de cada difunto y la bomba de agua más cercana. Snow llegó a la conclusión de que la zona más afectada por el cólera correspondía con la región de Voronoi asociada a la bomba de Broad Street, ya que en su región se dieron 73 de los 83 casos. Tras retirar la manija de la citada bomba, el brote de cólera se extinguió. ¿Qué?¿Cómo te quedas?.

También tiene aplicaciones en el fútbol. Se puede observar que el equipo azul no solo ocupa la mayor región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con lo cual se favorecen los pases entre sus jugadores.

Si queréis ver cómo funciona, usad este enlace con una aplicación que os lo muestra, solo tenéis que añadir con el ratón los puntos que queráis y a disfrutar.

Gracias a Clara Grima podéis encontrar esto y mucho más aquí, aquí y aquí.

Estadística en la II Guerra Mundial

En Londres, durante la II Guerra Mundial los nazis bombardearon la ciudad, provocando terribles destrozos repartidos por todo el mapa. De hecho, hoy en día se pueden consultar dónde cayeron 

Los británicos querían determinar si las bombas caían siguiendo una distribución aleatoria o si los alemanes eran capaces de concentrarlas deliberadamente en puntos estratégicos. Para ello dividieron el mapa de la ciudad en una malla o cuadrícula de 144 kilómetros cuadrados al sur de Londres, con un total de 576 celdas. Fueron contando el número de celdas en las que no habían caído bombas, en las que había caído 1, 2, ... y así sucesivamente. En total cayeron 537 bombas repartidas a lo largo de la malla:

- En 229 celdas no cayó ninguna.

- En 211 cayó una.

- En 93 cayeron dos. 

Y se dieron cuenta de que seguía una distribución de Poisson.

Por lo tanto, todo indica que las bombas fueron lanzadas sobre la ciudad sin ningún objetivo concreto.

Por @IreneSanta_ hilo completo aquí.