Un modelo, un teorema y teoría de juegos contra el coronavirus

Buenos días a todxs!

Ayer publicaban el siguiente artículo en agenciasinc.es, lo tenéis completo clicando aquí.

 

Como ya sabéis y se ha hablado del nuevo coronavirus SARS-Cov-2 las últimas semanas, es un virus que comenzó en China y que, en contra de lo que algunos pensaban, se ha probado que es de origen animal, este enlace habla de ello, con artículos de hace trece años hablando sobre el tema. 

El objetivo que tenemos estos días es aplanar la curva de infectados diarios, es decir, bajar y retrasar lo máximo posible el pico para que no haya un colapso de los sistemas sanitarios.

Tras las gráficas que nos han ido llegando por Whatsapp estos días hay modelos matemáticos que recogen características de los brotes epidémicos y permiten realizar predicciones. Uno de los más utilizados y con el que trabajamos hace un mes es el modelo SIR (Susceptibles de contraer la enfermedad, Infectados y Recuperados). Uno de los problemas que presenta utilizar este modelo, es que al ser nueva esta enfermedad los parámetros incluidos en el modelo se van estimando sucesivamente con los nuevos datos que se obtienen día a día, como puede ser R0.

El R0 del coronavirus, en circunstancias normales, ronda los 1.5 y 2.5, lo importante es reducirlo.

Una de las extensiones del modelo SIR es el SEIR, un sistema de ecuaciones donde se incorpora la población expuesta (E), aquellas personas que incuban el virus sin mostrar síntomas. Un grupo de investigadores de universidades gallegas y de Portugal lo han utilizado para modelizar la evolución de la pandemia y ayudar en la toma de decisiones. "Adaptándonos a las características propias del COVID-19, añadimos tres subpoblaciones (P de superpropagadores, A de afectados pero asintomáticos y H de hospitalizados) al modelo, con parámetros ajustados en función de los datos propios de este coronavirus desde que empezó en China", decía Juan José Nieto.

En base a los datos, estiman que "el pico se dará a principios de abril".

Otras herramientas matemáticas

El teorema de Bayes, que describe la probabilidad de un suceso basándose en el conocimiento previo de las condiciones relacionadas con ese suceso. Podríamos decir que va aprendiendo en función de los datos que conoce y esto aumenta la probabilidad de acertar. De León lo resume así "La información acerca de un determinado fenómeno tras el análisis de los datos, se obtiene actualizando los conocimientos previos con los nuevos datos".

Día Internacional de las Matemáticas

Hace unos meses la ONU reconoció el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas, antes conocido como día de pi y el nacimiento de Albert Einstein.

Pi es un número irracional, trascendente y que aparece en más lugares que en los libros de Matemáticas ;)

El número pi es conocido por todos, pero ¿conoces todas las aplicaciones que tiene en nuestro día a día el número π ?

En clase hicimos el ejemplo de la aguja de Buffon y sorprendió a los alumnxs, nunca te esperas dónde puede aparecer π

Otra de las aportaciones al día de pi de los alumnos de 1º de Bachillerato:

En el siguiente hilo de Twitter podéis encontrar el porqué del número pi en la fórmula del área del círculo.

CODVID19 y Matemáticas

Después de que hace unas horas se decretase la pandemia global por corona virus, quería mostraros los resultados de dos matemáticas en relación con el tema, por que sí, las matemáticas también sirven para prevenir mayor número de contagios de una enfermedad (como vimos en entradas anteriores) o para predecir cómo va a evolucionar.  Aunque en estos momentos lo que recomienden las autoridades sanitarias es lo que hay que hacer y lo más recomendable es evitar el contacto social.

Introducimos el Dilema del prisionero. La conclusión básica de este planteamiento, muy conocido en Teoría de Juegos es que, en la mayoría de situaciones, la cooperación conduce al bien común (a cambio de pequeños sacrificios individuales). La situación es la siguiente: pensemos en dos personas A y B que están contagiados pero no presentan síntomas. En la siguiente tabla se muestran los posibles escenarios y consecuencias esperadas de cada caso.

(Este argumento es el que plantea Clara Grima y otros autores en el libro Las matemáticas vigilan tu salud)

Por tanto, no se trata de que tú no te contagies, sino de que no nos contagiemos ninguno.

Aislarse, en la medida de nuestras posibilidades, en estas circunstancias, como vacunarse, es un acto de altruismo que todos deberíamos hacer.

@AnaBayes controla de modelos matemáticos y nos cuenta esto:

Imaginad un aula llena de personas donde 2 o 3 tienen la infección. Esas personas pueden contagiar a otras 2 personas cada una (en entradas anteriores ya vimos qué era R0). Si dejamos que el sistema se mueva sin hacer nada, efectivamente, los contagios crecerán de forma exponencial y, al final, todo el mundo estará contagiado. Sin embargo, solo hace falta un poco de control, aislar algunas zonas, para ver cómo el crecimiento se ralentiza muchísimo y dejamos de tener el famoso modelo exponencial. Si, además, metemos en la ecuación que a lxs enfermxs se les trata y se curan (en la mayor parte de los casos) eso genera otro cambio en el modelo que pasa a tener 3 tipos de personas, el modelo SIR (Susceptibles, Infectadas y Recuperados). Depende de cómo sea la enfermedad (y ahí es donde no tenemos datos) puede que las recuperadas vuelvan a ser susceptibles o no y eso también cambia el aspecto del sistema. En cualquier caso, lo importante es mantener la curva de infectados lo más plana posible para evitar el colapso del sistema

De la mano de @picanumeros tenemos lo siguiente:

La prevalencia de una enfermedad (E) es de 10 por cada 100.000 habitantes (0.01%). Aplicamos a una persona al azar un test que tiene una probabilidad del 99.9% de acertar. El test dice que la persona está enferma (A). ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad?

Recapitulemos: tanto la sensibilidad como la especificidad del test son del 99.9%, así que 

- la probabilidad de que dé positivo si está enferma es del 0.999, P(A|E) = 0.999.

- igual que la probabilidad de que dé negativo si no está enferma, P(A'|E')=0.999. (E' es el complementario de E, i.e., el suceso la persona No esté enferma y A' es el suceso el test dice que la persona no está enferma, el complementario del suceso A).

Si ya ha ocurrido A, buscamos entonces P(E|A). Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|A) = P(A|E)*P(E) / [P(A|E)*P(E) + P(A|E')*P(E)]

Dado que P(A|E') = 1- P(A'|E') y P(E') = 1 - P(E), 

P(E|A) = 0.999*0.0001 + 0.001-0.9999 = 0.0908. 

La probabilidad de que la persona realmente tenga la enfermedad es de 0.0908 (9.08%), luego es mucho más probable que no la tenga. 

¿Cuál es el motivo de que sea tan baja? La prevalencia inicial.

Si aumentamos la prevalencia a 100 casos por cada 100.000 habitantes (0.1%), la probabilidad anterior aumentaría a 0.5 y, si lo hiciéramos a 1000 casos por cada 100.000 (1%), y sería de 0.91. ¿Verdad que te fiarías más de este test?

Si queremos elevar la probabilidad de que los positivos sean verdaderos hace falta elevar el valor predictivo del test, lo cual es más una cuestión técnica, pero también se puede elevar la probabilidad de estar enfermo a priori (seleccionando bien a quién se hace la prueba!!).

Esta selección a veces es complicada, por lo que hay estrategias para conseguir maximizar el éxito.

También, de mano de @AnaBayes, otro aspecto sería seguir la estrategia de repetir la prueba varias veces, incluso jugando con la sensibilidad y especifidad (siempre dentro de unos límites coherentes), para aumentar las posibilidades.

Expansión del Coronavirus COVID-19 y el INE

Hace unos meses (en octubre del pasado año) el Instituto Nacional de Estadística (INE) llegaba a un acuerdo con varias compañías telefónicas para permitir al organismo seguir la pista, durante ocho días, de los teléfonos móviles de toda España con el objetivo de obtener información sobre la movilidad de los españoles.

Los datos que facilitaron las operadores eran completamente anónimos y el seguimiento comprende los días 18, 19, 20 y 21 de noviembre (todos laborables); 24 de noviembre (domingo); 25 de diciembre (festivo); 20 de julio y 15 de agosto. 

Lo que se tiene en cuenta en este "rastreo" no es la posición de cada teléfono, sino recuentos de cuántos teléfonos se encuentran en cada zona en cada momento, respetándose la Ley de Protección de datos.

Vivimos en la era de los datos, así que una vez se han recopilado durante varios días esta movilidad por toda la región de España, uno de los usos puede ser la expansión del Coronavirus COVID-19 en nuestro país. (Datos obtenidos del Twitter de Pedro Daniel Pajares).

Zonas menos afectadas: Galicia y Zaragoza.
Más afectadas: Badajoz, Málaga, S.C. Tenerife, Segovia y Valencia.

El estudio está hecho a nivel de municipio del riesgo epidémico estimado en España. Los 5 con más riesgo son:
1. Arjonilla (Jaén)
2. San Sebastián de la Gomera (S.C. Tenerife)
3. Zafra (Badajoz)
4. Atalaya (Badajoz)
5. Puebla de Sancho Pérez (Badajoz)

Este estudio se ha basado en un modelo matemático de propagación de epidemias basado en la movilidad habitual (recurrente) entre municipios, de la población activa de España, según datos proporcionados por el INE.

Fuente y datos completos en este enlace.

Mujer con ciencia. Katherine Johnson

Triste noticia para el mundo de la ciencia. El pasado lunes 24 de febrero nos dejaba Katherine Johnson, la mujer que hizo los cálculos para la misión del "Apolo XI" y que pudimos compartir parte de su vida gracias a la película Figuras Ocultas, visualizada el Día de la Mujer y la Niña en la ciencia.

A continuación, su historia proporcionada por el Instituto CIO.

Nació el 26 de agosto de 1918 en Virginia Occidental.

Las leyes de segregación racial que imperaban en los Estados Unidos en aquella época hacían que una afroamericana no pudiera estudiar más allá de octavo curso en su condado natal.

Se graduó con 14 años y, un año después, continuó sus estudios superiores en la denominada West Virginia State Collage, donde consiguió sus grados de Matemáticas y Francés.

Corría el año 1950 cuando se enteró que la NACA, predecesora de la NASA, buscaba mujeres afroamericanas para tareas de cálculo en el Departamento de Guía y Navegación. Katherine empezó a trabajar en NACA en 1953.

Su trabajo consistía en realizar todas las operaciones y comprobaciones de cálculo que requerían los ingenieros aeronáuticos.

Pidió poder ir a las reuniones de los ingenieros para poder discutir esas cuestiones con ellos. Con el tiempo fue destacando no solo por sus conocimientos, sino también por sus capacidades de liderazgo. Fue la encargada de llevar a cabo los cálculos del Proyecto Mercury desarrollado ya por la NASA entre 1961 y 1963.

Calculó la trayectoria parabólica del vuelo espacial de Alan Shepard, el primer estadounidense que viajó al espacio a bordo del Mercury Redstone 3 en 1961.

Calculó la trayectoria del Apolo XI que llevaría el hombre a la luna en 1969.

También participó en el programa Space Shutlle y en planes de misión a Marte hasta su jubilación, en 1986, después de treinta y tres años de servicio en la NASA.
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Recibió el premio Matemática del año en 1997.

11F. Día Internacional de la Mujer y la Niña en la ciencia

El pasado jueves 11 de febrero se llevaron a cabo varias actividades para celebrar el día de la mujer y la niña en la ciencia #díamujeryniñaenciencia #11f2020 #11bywomen

Actividades:

- Los alumnos del IES Los Sauces de León de 1º y 2º de bachillerato fueron al cine a ver la película "Figuras ocultas".

- Encuentro con investigadoras de Benavente. El centro ha conseguido que cuatro mujeres procedentes de Benavente con experiencia en el mundo científico vengan a dar una charla sobre su experiencia y su trabajo.

También, animar a leer la siguiente publicación del blog Mujeres con ciencia: La prensa y las científicas.


y alcanzamos el límite de nuestras fuerzas
y salimos gritando de nuestro entorno
porque el infinito también nos pertenece
y juntas haremos que todo converja.

@AnaBayes

Las matemáticas vigilan tu salud

A raíz de la alerta sanitaria creada por el coronavirus vamos a ver cómo las matemáticas intervienen en la prevención de una epidemia.

Abro el hilo de la maravillosa divulgadora Clara Grima que podéis encontrar en el enlace contado por ella, pero que desarrollo a continuación para que dispongáis automáticamente de él.

En 1927 se describieron los primeros modelos matemáticos para describir el avance de una determinada enfermedad. Uno de los primeros (y más simples) fue el modelo SIR de W.O. Kermack y A.G. McKendrick, dos escoceses muy apañaos, bioquímico el primero y físico el segundo (¿quién ha dicho que las matemáticas solo las hagan los matemáticos?).

¿Por qué se llama modelo SIR? Porque, respecto a una enfermedad, este modelo divide a la población en 3 grupos: el grupo S, el grupo I y el grupo R.

• En el grupo S metemos a las personas Susceptibles de enfermar. En cada instante de tiempo, t, tendremos un valor S(t) que nos indica cuántas personas susceptibles de enfermar hay en ese momento. ¡Eh! Ante determinadas enfermedades no todos somos susceptibles de enfermar. Tanto Clara como yo no somos susceptibles de contraer algo que solo ataque a la próstata. Y MUY IMPORTANTE, tampoco son susceptibles de enfermar las personas VACUNADAS.
• En el grupo I metemos a las personas ya Infectadas por la enfermedad. Y, como ocurría con S, en cada instante de tiempo t tendremos el valor I(t) que nos indica cuántas personas infectadas por la enfermedad hay en ese momento.
• En el grupo R, finalmente, estarán aquellas personas que están Recuperadas, en el sentido de que han pasado la enfermedad y no pueden volver a contagiarla. Por lo tanto, en el grupo R estarán los pacientes que se curaron y ya son inmunes y tambien los muertos. De nuevo, R(t) nos da el número de personas que no pueden infectarse ni infectar porque se han recuperado o porque se han muerto.

Esto nos da tres funciones, S(t), I(t) y R(t), que en cada instante de tiempo t nos informan del avance de la enfermedad.

Aquí aparece la gráfica con la evolución de los tres valores para una enfermedad (ficticia): los susceptibles, los infectados y los recuperados (sanos inmunes + muertos).

Estas gráficas se obtienen de resolver estas ecuaciones (que no tenéis porqué saber resolver, por ahora), las del modelo SIR.

Pues bien, de estas ecuaciones se obtiene el valor Ro del que hablábamos al principio del hilo y al que se refería @pmarsupia en su tuit. 

El coeficiente Ro, que depende de muchos factores (como la virulencia del agente), nos dice cuántas personas (en media) se espera que pueda contagiar una persona enferma durante el periodo que dure su enfermedad. A este número Ro se le llama número de reproducción básico.

Vamos a verlo con un sencillo ejemplo. Supongamos que tenemos una enfermedad de Ro=2. Esto significa que 1 enfermo contagiaría a 2, estos 2 a otros 2 cada uno (4 enfermos más), estos 4 a 2 cada uno y así sucesivamente.

Haciendo cuentas, si suponemos que cada enfermo infecta a sus dos 'víctimas' correspondientes en un día y suponemos que somos 7000 millones de humanos, todos susceptibles, ¿cuánto tardaríamos en infectarnos todos?

Sí, amiguitos, el crecimiento exponencial es lo que tiene!

Los datos sobre este virus son un poquito preocupantes porque los datos apuntan a que es cercano o superior a dos, de hecho acaban de estimar que se encuentra entre 3.30 y 5.47. Pero vamos a ser 'optimistas' y supongamos que es cercano a 2. ¿Qué hacer ante una enfermedad para proteger a la población? En este sentido, las ecuaciones del modelo SIR nos permiten deducir que habrá epidemia solo si S(0), el porcentaje de personas susceptibles en el momento que empieza la infección es superior a 1/Ro.

Es decir, si tenemos un Ro=10, por ejemplo, evitaremos la epidemia si el % de personas susceptibles es igual o inferior a 1/10, esto es, al 10%. Y eso se consigue vacunando al 90% de la población.

Para un Ro=2, deberíamos poder vacunar, al menos, al 50%.

Eso es cuando, gracias a la investigación científica, haya vacunas.

En otro caso, lo único que podemos hacer es aislar con seguridad a los infectados.


Este hilo no pretende asustar a nadie, sino mostrar que todo lo que nos rodea, casi todo lo que nos gusta y casi todo lo que nos preocupa se puede explicar con Matemáticas.

Las fechas más matemáticas del 2020

Acabamos de comenzar el año, es momento de marcar fechas importantes en nuestra agenda, como son las siguientes:

• 14 de marzo. Día Internacional de las Matemáticas. 
• 12 de mayo. Día Internacional de la mujer matemática.
• 12 de mayo. Día Escolar de las Matemáticas.
• 20 de octubre. Día Mundial de la Estadística.

El 26 de noviembre del 2019 la UNESCO proclamó el 14 de marzo como el día internacional de las Matemáticas, por lo que este año será su primera celebración.

Las matemáticas nos aseguran una correcta percepción del mundo

El cerebro recurre a sofisticadas herramientas matemáticas y estadísticas para representarnos fielmente el mundo con el menor esfuerzo neuronal. La Ley Potencial aporta precisión a la percepción.

El cerebro cuando procesa las imágenes visuales, la mayoría de las neuronas responden de forma idéntica a los mismos estímulos. De esta manera codifica toda la información posible y prioriza los aspectos más importantes de la imagen a representar, renunciando a catalogar los detalles insignificantes. 

Gracias a la aplicación de la Ley Potencial, las neuronas implicadas en el procesamiento de la información destacan lo más relevante del estímulo que percibe el cerebro e ignoran aspectos secundarios.

Aquí la noticia completa.