Las matemáticas vigilan tu salud

A raíz de la alerta sanitaria creada por el coronavirus vamos a ver cómo las matemáticas intervienen en la prevención de una epidemia.

Abro el hilo de la maravillosa divulgadora Clara Grima que podéis encontrar en el enlace contado por ella, pero que desarrollo a continuación para que dispongáis automáticamente de él.

En 1927 se describieron los primeros modelos matemáticos para describir el avance de una determinada enfermedad. Uno de los primeros (y más simples) fue el modelo SIR de W.O. Kermack y A.G. McKendrick, dos escoceses muy apañaos, bioquímico el primero y físico el segundo (¿quién ha dicho que las matemáticas solo las hagan los matemáticos?).

¿Por qué se llama modelo SIR? Porque, respecto a una enfermedad, este modelo divide a la población en 3 grupos: el grupo S, el grupo I y el grupo R.

• En el grupo S metemos a las personas Susceptibles de enfermar. En cada instante de tiempo, t, tendremos un valor S(t) que nos indica cuántas personas susceptibles de enfermar hay en ese momento. ¡Eh! Ante determinadas enfermedades no todos somos susceptibles de enfermar. Tanto Clara como yo no somos susceptibles de contraer algo que solo ataque a la próstata. Y MUY IMPORTANTE, tampoco son susceptibles de enfermar las personas VACUNADAS.
• En el grupo I metemos a las personas ya Infectadas por la enfermedad. Y, como ocurría con S, en cada instante de tiempo t tendremos el valor I(t) que nos indica cuántas personas infectadas por la enfermedad hay en ese momento.
• En el grupo R, finalmente, estarán aquellas personas que están Recuperadas, en el sentido de que han pasado la enfermedad y no pueden volver a contagiarla. Por lo tanto, en el grupo R estarán los pacientes que se curaron y ya son inmunes y tambien los muertos. De nuevo, R(t) nos da el número de personas que no pueden infectarse ni infectar porque se han recuperado o porque se han muerto.

Esto nos da tres funciones, S(t), I(t) y R(t), que en cada instante de tiempo t nos informan del avance de la enfermedad.

Aquí aparece la gráfica con la evolución de los tres valores para una enfermedad (ficticia): los susceptibles, los infectados y los recuperados (sanos inmunes + muertos).

Estas gráficas se obtienen de resolver estas ecuaciones (que no tenéis porqué saber resolver, por ahora), las del modelo SIR.

Pues bien, de estas ecuaciones se obtiene el valor Ro del que hablábamos al principio del hilo y al que se refería @pmarsupia en su tuit. 

El coeficiente Ro, que depende de muchos factores (como la virulencia del agente), nos dice cuántas personas (en media) se espera que pueda contagiar una persona enferma durante el periodo que dure su enfermedad. A este número Ro se le llama número de reproducción básico.

Vamos a verlo con un sencillo ejemplo. Supongamos que tenemos una enfermedad de Ro=2. Esto significa que 1 enfermo contagiaría a 2, estos 2 a otros 2 cada uno (4 enfermos más), estos 4 a 2 cada uno y así sucesivamente.

Haciendo cuentas, si suponemos que cada enfermo infecta a sus dos 'víctimas' correspondientes en un día y suponemos que somos 7000 millones de humanos, todos susceptibles, ¿cuánto tardaríamos en infectarnos todos?

Sí, amiguitos, el crecimiento exponencial es lo que tiene!

Los datos sobre este virus son un poquito preocupantes porque los datos apuntan a que es cercano o superior a dos, de hecho acaban de estimar que se encuentra entre 3.30 y 5.47. Pero vamos a ser 'optimistas' y supongamos que es cercano a 2. ¿Qué hacer ante una enfermedad para proteger a la población? En este sentido, las ecuaciones del modelo SIR nos permiten deducir que habrá epidemia solo si S(0), el porcentaje de personas susceptibles en el momento que empieza la infección es superior a 1/Ro.

Es decir, si tenemos un Ro=10, por ejemplo, evitaremos la epidemia si el % de personas susceptibles es igual o inferior a 1/10, esto es, al 10%. Y eso se consigue vacunando al 90% de la población.

Para un Ro=2, deberíamos poder vacunar, al menos, al 50%.

Eso es cuando, gracias a la investigación científica, haya vacunas.

En otro caso, lo único que podemos hacer es aislar con seguridad a los infectados.


Este hilo no pretende asustar a nadie, sino mostrar que todo lo que nos rodea, casi todo lo que nos gusta y casi todo lo que nos preocupa se puede explicar con Matemáticas.