El diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos en el plano es la descomposición de dicho plano en regiones de tal forma que a cada objeto se le asigna la región del plano formada por los puntos que son más cercanos a él que a ninguno de los otros objetos.
El diagrama de Voronoi divide el plano en tantas regiones como puntos, de tal forma que a cada punto le asignamos la región del plano formada por todo lo que está más cerca de él que de nadie.
En la figura, el punto verde ha caído en la región D, luego D es el punto azul más cercano al punto verde.
Esta propiedad del Diagrama de Voronoi tiene aplicaciones inmediatas tales como que si los puntos azules son los 8 parques que hay en tu ciudad, puedes saber cuál se encuentra más cerca de tu casa.
El diagrama de Voronoi se puede encontrar en infinidad de ejemplos naturales o se pueden provocar con experimentos caseros muy sencillos.
Si se ponen caramelos de colores en un plato y vierten agua sobre ellos, se puede observar cómo poco a poco se van delimitando las regiones de Voronoi de cada uno de los caramelos (teñida la región del color correspondiente) hasta que se tocan en la frontera. Después, eso sí, se estropea porque se siguen mezclando.
Si se ponen de acuerdo con varios amigos y crean varias pompas de jabón sobre un cristal horizontal, y han tenido cuidado de soplar al mismo tiempo, podrán observar que se dibuja una estructura similar.
Basándose en esta idea Luis M. Escudero y colaboradores han desarrollado un método que puede servir para revolucionar el diagnóstico automatizado de ciertas formaciones tumorales. Lo que han hecho, en líneas generales, el Dr. Escudero y sus colegas, ha sido crear un modelo de tejido epitelial (y muscular) ideal mediante el siguiente procedimiento computacional:
1. se genera un conjunto de puntos al azar;
2. a dichos puntos se les calcula su diagrama de Voronoi;
3. se calcula el centro de masas de cada una de las regiones resultantes (esto proporciona un nuevo conjunto de puntos)
4. se calcula el diagrama de Voronoi del nuevo conjunto.
Este proceso se repite hasta tres veces más. El aspecto que tiene este quinto diagrama de Voronoi calculado es el modelo de tejido ideal calculado por el Dr. Escudero (puesto que todas las células son similares, al expandirse, sus fronteras tienden a formar un diagrama de Voronoi). A partir de aquí estos investigadores miden cómo de parecido es el tejido de una muestra real del tejido modelo, si se parecen según ciertos parámetros (geométricos y topológicos), el tejido real está sano; en otro caso se concluye que algunas células no presentan las mismas características físicas que sus vecinas, lo que puede indicar el comienzo de un proceso tumoral. ¿No les parece sorprendente y maravilloso?
Aunque, sin duda y por justicia histórica, la aplicación más interesante de este diagrama fue la que hizo John Snow.
Perdón, la foto anterior era de Jon Snow (sin h). En realidad, nos referimos a John Snow, médico inglés del sigo XIX.
Fue en Londres en 1984, un brote de cólera estaba causando estragos en la ciudad británica. Por aquel entonces no se conocía con exactitud la etiología, ni el método de transmisión de la citada enfermedad. Se debatían dos posibilidades: el contagio por contacto con el enfermo, sus ropas o pertenencias; y la teoría miasmática que atribuían a la trasmisión a condiciones atmosféricas, como los vientos. John Snow usó el método geográfico deduciendo que la causa de la enfermedad era el consumo de aguas contaminadas por heces. Para ello, en un mapa señaló la distribución de muertes por cólera.
A continuación, estudió la distribución de las fuentes de agua potable de la ciudad y delimitó las regiones de Voronoi de cada una de esas bombas. Calculó la distancia entre la residencia de cada difunto y la bomba de agua más cercana. Snow llegó a la conclusión de que la zona más afectada por el cólera correspondía con la región de Voronoi asociada a la bomba de Broad Street, ya que en su región se dieron 73 de los 83 casos. Tras retirar la manija de la citada bomba, el brote de cólera se extinguió. ¿Qué?¿Cómo te quedas?.
También tiene aplicaciones en el fútbol. Se puede observar que el equipo azul no solo ocupa la mayor región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con lo cual se favorecen los pases entre sus jugadores.
Si queréis ver cómo funciona, usad este enlace con una aplicación que os lo muestra, solo tenéis que añadir con el ratón los puntos que queráis y a disfrutar.
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